Zadanie z: 2009
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 4
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2009 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 4 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: podobieństwo trójkątów, obwód trapezu.
Treść zadania
W trapezie \( ABCD \) długość podstawy \( CD \) jest równa 18, a długości ramion trapezu \( AD \) i \( BC \) są odpowiednio równe 25 i 15. Kąty \( ADB \) i \( DCB \), zaznaczone na rysunku, mają równe miary. Oblicz obwód tego trapezu.
Podpowiedź do zadania
Korzystając z podobieństwa trójkątów układamy odpowiednią proporcję aby wyliczyć \( DB \), następnie ponownie korzystając z podobieństwa trójkatów obliczamy\( AB \).Zobacz więcej tutaj: Wzory maturalne - Planimetria
Rozwiązanie zadania
Zaznaczamy od oznaczenia danych na rysunku.
Ponieważ proste \( AB \) i \( CD \) są równoległe, równe są także kąty \( ABD \) i \( CDB \) . Więc, trójkąty \( ABD \) i \( SDC \) są podobne, a co za tym idzie możemy zapisać następującą zależność:
\[ \frac{AD}{DB}=\frac{BC}{CD} \]
Podstawiany dane i obliczamy \( DB \):
\[ DB = \frac{AD}{BC}*CD=\frac{25}{15}*18=30 \]
Ponownie możemy skorzystać z własności podobieństwa.
\[ \frac{AB}{AD}=\frac{DB}{BC} \]\[ AB = \frac{DB}{BC}*AD=\frac{30}{15}*25=50 \]
Mając wszystkie długości boków obliczamy obwód:
\[ 25+18+15+50=108 \]