Rok: 2009
Matura: Egzamin główny
Poziom matury: Podstawowy
Numer w arkuszu: 31
Punkty: 2
Cały arkusz
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2009 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 2 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: trójkąty podobne, trójkąt równoboczny, Twierdzenie Talesa.
Treść zadania:
Trójkąty \( ABC\) i \( CDE\) są równoboczne. Punkty \( A,C\) i \( E\) leżą na jednej prostej. Punkty \( K,L\) i \( M\) są środkami odcinków \( AC,CE\) i \( BD\) (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty \( K,L\) i \( M\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego.
Podpowiedź do zadania
Zauważmy, że oba odcinki \( AB\) i \( CD\) tworzą z prostą \( AE\) kąt \( 60^{\circ}\), czyli są do siebie równoległe. Zatem na mocy twierdzenia Talesa, odcinek \( MK\) łączący środki odcinków \( AC\) i \( BD\) jest równoległy do \( AB\) i \( CD\).
Na tej zasadzie sprawdzamy równoległość innych odcinków oraz kąty w innych trójkątach.
Więcej wzorów znajdziesz na stronie Wzory maturalne - planimetria.
Rozwiązanie zadania
Dorysujmy odcinki \( KM\) i \( ML\).
Zauważmy, że oba odcinki \( AB\) i \( CD\) tworzą z prostą \( AE\) kąt \( 60^{\circ}\), czyli są do siebie równoległe. Zatem na mocy twierdzenia Talesa, odcinek \( MK\) łączący środki odcinków \( AC\) i \( BD\) jest równoległy do \( AB\) i \( CD\). Zatem \( \measuredangle MKL=60^{\circ}\).
Podobnie, patrząc na odcinki \( BC\) i \( DE\), uzasadniamy, że odcinek \( ML\) jest równoległy do \( BC\) i \( DE\). Zatem \( \measuredangle MLK=60^{\circ}\).
Skoro dwa kąty trójkąta \( MKL\) są równe \( 60^{\circ}\), to musi to być trójkąt równoboczny.
Dodatkowa karta wzorów:
Odkryj naszą Kartę Dodatkowych Wzorów Maturalnych – kluczowe narzędzie dla każdego maturzysty.
Jeśli podoba Ci się to zadanie maturalne, udostępnij, je na Facebooku!
Oceń użyteczność zadania:
Chcielibyśmy wiedzieć, jak oceniasz to zadanie pod względem użyteczności w nauce i pomocy w zrozumieniu tematu. Prosimy, nie oceniaj trudności samego zadania, ale skup się na tym, jak pomogło Ci ono w nauce.
Liczba ocen: 0, średnia ocena: 0,00
Aby móc wystawić ocenę musisz być zalogowany.
Loading...Ostatnio dodane na stronie
Wierzymy, że najlepszym sposobem nauki jest praktyka. Dlatego stale aktualizujemy naszą bazę zadań, abyś miał dostęp do najnowszych i najbardziej aktualnych treści. Oto kilka z naszych najnowszych zadań maturalnych, które pomogą Ci być o krok przed innymi.
