Rok: 2022
Matura: Egzamin główny
Poziom matury: Rozszerzony
Numer w arkuszu: 15
Punkty: 7
Cały arkusz
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2022 roku poziom rozszerzony, za które można było uzyskać 7 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: dziedzina funkcji, pole trójkąta, długość odcinka, wzory funkcji, pochodne funkcji, miejsca zerowe, monotoniczność funkcji.
Treść zadania:
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym \(18\).
a) Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża się wzorem \(P(b)=\frac{(18-2 b) \cdot \sqrt{18 b-81}}{2}\).
b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(P\).
c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.
Podpowiedź do zadania
a) Wykorzystujemy fakt, że znamy obwód - podstawę możemy zapiać jako \( 2a \) i podstawiając do wzoru na obwód zapisujemy \( a \) w zależności od \( b \). Następnie możemy korzystając z Tw. Pitagorasa, aby doprowadzić równanie do odpowiedniej postaci.
b) Jeśli wprowadzimy odpowiednie założenia, pamiętajmy, że bok nie może być ujemny i musi mieć odpowiednią długość.
c) Wykorzystujemy wzór z treści zadania oraz wyznaczone \( a \) w zależności od \( b \), w wyniku czego powstanie nam równanie kwadratowe.
Loading...