Rok: 2022
Matura: Egzamin główny
Poziom matury: Rozszerzony
Numer w arkuszu: 8
Punkty: 3
Cały arkusz
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2022 roku poziom rozszerzony, za które można było uzyskać 3 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusów, rozwiązywanie równań, jedynka trygonometryczna.
Treść zadania:
Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(C D\) jest o \( 2 \) mniejsza od długości podstawy \(A B\). Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(C P D\) jest o \( 3 \) mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie \(A P B\). Wykaż, że spełniony jest warunek \(|D P|^2+|C P|^2-|C D|^2=\frac{4 \sqrt{2}}{3} \cdot|D P| \cdot|C P|\).
Podpowiedź do zadania
Szkicujemy opisaną sytuację.
Jeżeli oznaczymy przez \(R\) promień okręgu opisanego na trójkącie \(A P B\), to wiemy, że promień okręgu opisanego na trójkącie \(C P D\) jest równy \(R-3\). Trzeba napisać twierdzenia sinusów w trójkątach \(A P B\) i \(C P D\).
Na sam koniec, żeby udowodnić warunek, trzeba napisać twierdzenie cosinusów w trójkącie \(C P D\).
Więcej wzorów znajdziesz na stronie Wzory maturalne - planimetria.
Loading...