Zadanie z: 2011
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Rodzaj zadania: Otwarte
Punkty: 2
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne otwarte, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2011 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 2 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: zależności między kątami w czworokącie.
Treść zadania
Dany jest czworokąt \( ABCD \), w którym \( AB \parallel CD \). Na boku \( BC \) wybrano taki punkt \( E \), że
\( \left | EC \right |=\left | CD \right | \) i \( \left | EB \right |=\left | BA \right | \). Wykaż , że kąt \( AED \) jest prosty.
Podpowiedź do zadania
Dorysowujemy prostą równoległą do \( AB \) i \( CD \) oraz wykorzystujemy zależności między kątami.
Zobacz więcej tutaj: Wzory maturalne - Planimetria
Rozwiązanie zadania
Rozpoczynamy od rysunku pomocniczego.
Wiemy, że trójkąty \( DCE \) i \( EBA \) są równoramienne. Możemy zatem oznaczyć odpowiednie kąty jako \( \alpha \) i \( \beta \).
Dorysowujemy prostą \( EF \) równoległą do \( AB \) i \( CD \). Wówczas widać, że \( \measuredangle FED \) jest równy \( \measuredangle EDC \) oraz \( \measuredangle FEA \) jest równy \( \measuredangle EAB \).
.
Prosta \( BC \) ma \( 180^{\circ} \). Więc:
\[ 2 \alpha + 2 \beta =180^{\circ} \; /:2 \]
\[ \alpha +\beta =90^{\circ} \]