Zadanie #66

Zadanie z: 2009

Matura: Główna

Poziom matury: Podstawowa

Punkty: 3

Opis zadania

Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2009 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 3 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: potęga potęgi, działania na potęgach, odejmowanie potęg o jednakowych podstawach, dodawanie potęg o jednakowych podstawach i wyciąganie przed nawias.

Treść zadania

Wykaż, że liczba \( 3^{54} \) jest rozwiązaniem równania \( 243^{11}-81^{14}+7x=9^{27} \).

Wskazówka do zadania

Podpowiedź do zadania

Przekształcamy liczby na \( 3^{k} \) i wykonujemy odpowiednie działania.

Zobacz więcej tutaj: Wzory maturalne - Pierwiastki i potęgi

Rozwiązanie zadania

Sprowadzamy liczby do postaci \( 3^{k} \), \( 243=3^{5} \), \( 81=3^{4} \), \( 9=3^{2} \) zatem:

\[ \left(3^{5} \right)^{11}-\left(3^{4} \right)^{14}+7x=\left(3^{2} \right)^{27} \]\[ 3^{55}-3^{56}+7x=3^{54} \]\[ 7x=3^{54}-3^{55}+3^{56} \]\[ 7x=3^{54}\cdot \left(1-3^{1}+3^{2} \right) \]\[ 7x=3^{54}\cdot 7\; \; /:7 \]\[ x=3^{54} \]