Zadanie z: 2008
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 4
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2008 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 4 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: działania na potęgach, potęga potęgi, równania wykładnicze.
Treść zadania
Rozwiąż równanie \( 4^{23}x-32^{9}x=16^{4}\cdot \left(4^{4} \right)^{4} \). Zapisz rozwiązanie tego równania w postaci \( 2^{k} \), gdzie \( k \) jest liczbą całkowitą.
Podpowiedź do zadania
Sprowadzamy wszystko do potęgi liczby 2 i następnie redukujemy.Zobacz więcej tutaj: Vademecum - Pierwiastki i potęgi
Rozwiązanie zadania
\[ 4^{23}x-32^{9}x=16^{4}\cdot \left(4^{4} \right)^{4} \]
Zamieniamy liczby 4, 16, 32 na potęgi liczby 2:
\[ \left(2^{2} \right)^{23}x-\left(2^{5} \right)^{9}x=\left(2^{4} \right)^{4}\cdot \left(\left(2^{2} \right)^{4} \right)^{4} \]
Gdy mamy do czynienia z potęgą potęgi wykładniki potęg wymnażamy przez siebie, w przypadku mnożenia potęg o takich samych podstawach wykładniki dodajemy.
\[ 2^{46}x-2^{45}x=2^{16}\cdot 2^{32}=2^{48} \]
Dzielimy obustronnie przez \( 2^{45} \)
\[ 2^{46}x-2^{45}x=2^{48}\; /:2^{45} \]\[ \frac{2^{46}x}{2^{45}}-\frac{2^{45}x}{2^{45}}=\frac{2^{48}}{2^{45}} \]
W przypadku dzielenia potęg o takich samych podstawach wykładniki odejmujemy od siebie.
\[ 2x-x=2^{3}\]\[ x=2^{3} \]