Zadanie z: 2010
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Rodzaj zadania: Otwarte
Punkty: 2
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne otwarte, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2010 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 2 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: przekształcanie nierówności, rozwiązywanie nierówności i wzory skróconego mnożenia.
Treść zadania
Wykaż, że jeśli \( a>0 \), to \( \frac{a^{2}+1}{a+1}\geq \frac{a+1}{2} \).
Podpowiedź do zadania
Przekształcamy naszą nierówność do najprostszej postaciRozwiązanie zadania
Przekształcamy naszą nierówność:
\[ \frac{a^{2}+1}{a+1}\geq \frac{a+1}{2}\; \; /\cdot 2\left(a+1 \right) \]\[ 2\left(a+1 \right)\geq \left(a+1 \right)^{2} \]\[ 2a+2\geq a^{2}+2a+1 \]\[ a^{2}-2a+1\geq 0 \]\[ \left(a-1 \right)^{2}\geq 0 \]
Końcowa nierówność jest prawdziwa, więc nasza nierówność z treści zadania również jest prawdziwa.