Zadanie z: 2007
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 4
Opis zadania
Jest to zadanie, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2007 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 4 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: rachunek prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo zdarzeń.
Treść zadania
Na stole leżało \( 14 \) banknotów: \( 2 \) banknoty o nominale \( 100 \) zł, \( 2 \) banknoty o nominale \( 50 \) zł i \( 10 \) banknotów o nominale \( 20 \) zł. Wiatr zdmuchnął na podłogę \( 5 \) banknotów. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że na podłodze leży dokładnie \( 130 \) zł. Odpowiedź podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
Podpowiedź do zadania
Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania \( 5 \) banknotów z \( 14 \) dostępnych. Gdy mamy już zbiór wszystkich zdarzeń, obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia sprzyjającego. Aby otrzymać 130zł potrzebujemy jednego banknotu 50zł, który losujemy na dwa sposoby oraz trzech banknotów 20zł z dziesięciu dostępnych. Nie możemy brać pod uwagę ani banknotu 100zł, ani dwóch banknotów 50zł, jak również samych 20zł banknotów.Zobacz więcej tutaj: Tablice matematyczne - Kombinatoryka oraz Tablice matematyczne - Rachunek prawdopodobieństwa
Rozwiązanie zadania
Liczymy prawdopodobieństwo wylosowania \( 5 \) banknotów z wszystkich \( 14 \) banknotów.
\[ \left|\Omega \right| = \begin{pmatrix} 14\\ 5 \end{pmatrix} = \frac{14\cdot 13\cdot 12 \cdot 11\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5} \]\[ \left|\Omega \right| = 14\cdot 13 \cdot 11 = 2002 \]
Aby otrzymać 130zł potrzebujemy jednego banknotu 50zł, który losujemy na dwa sposoby oraz czterech banknotów 20zł z dziesięciu dostępnych. Nie możemy brać pod uwagę ani banknotu 100zł, ani dwóch banknotów 50zł, jak również samych 20zł banknotów. Zatem zdarzenie sprzyjające liczymy:
\[ 2\cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot \frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4} = \]\[ 2\cdot 10\cdot 3\cdot 7 =420 \]
Nasze szukane prawdopodobieństwo liczymy:
\[ \frac{420}{2002} = \frac{30}{143} \]