Zadanie #7

Zadanie z: 2007

Matura: Główna

Poziom matury: Podstawowa

Punkty: 5

Opis zadania

Jest to zadanie, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2007 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 5 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: równanie prostej, środek odcinka, proste prostopadłe, współczynnik kierunkowy prostej, wzory redukcyjne tangensa, równanie prostej przechodzącej przez punkt.

Treść zadania

Dany jest punkt \( C = (2,3) \) i prosta o równaniu \( y = 2x -8 \) będąca symetralną odcinka \( BC \). Wyznacz współrzędne punktu \( B \). Wykonaj obliczenia uzasadnij odpowiedź.

Wskazówka do zadania

Podpowiedź do zadania

Rysujemy wykres, a na nim nanosimy prostą o równaniu \( y = 2x - 8 \), następnie wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do równania \( y = 2x - 8 \), przechodzącej przez punkt \( C (2, 3) \). Następnie wyznaczamy punkt \( B \) korzystając z wzoru na środek odcinka. \[ \left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2}, \frac{y_{A}+y_{B}}{2} \right) \] Zobacz więcej tutaj: Tablice matematyczne - Geometria analityczna

Rozwiązanie zadania

Najpierw rysujemy wykres, który przedstawia się następująco:

Skoro prosta o równaniu \( y=2x -8 \) jest symetralną odcinka \( BC \) to znaczy, że odcinek i prosta przecinają się pod kątem prostym. Szukanie współrzędnych punktu \( B \) zaczynamy od wyznaczenia równania prostej prostopadłej do prostej \( y=2x-8 \) przechodzącej przez punkt \( C (2, 3) \) i punkt \( B \). Warunek prostopadłości dwóch prostych to:

\[ a_{1}a_{2}= -1 \]

Ogólny wzór na prostą to:

\[ y=ax+b \]

Współczynnik kierunkowy prostej wyliczony z warunku prostopadłości to \( a=-\frac{1}{2} \), zatem:

\[ y=-\frac{1}{2}x+b \]

Wiemy, że punkt \( C (2, 3) \) należy do naszej szukanej prostej, zatem możemy podstawić wartości \( x \) i \( y \) do naszego równania.

\[ 3=-\frac{1}{2} \cdot 2+b\Rightarrow b=4 \]

Z powyższego równania wyliczyliśmy \( b = 4 \). Następnie wyznaczamy współrzędne punktu \( S \) będącego geometrycznym rozwiązaniem poniższych równań:
\[ \begin{cases} y = 2x - 8 \\ y= -\frac{1}{2}x + 4 \; / \cdot 4 \end{cases} \]

Wymnożyliśmy drugie równanie przez \( 4 \) aby móc dodać je stronami

\[ \begin{cases} y = 2x - 8 \\ 4y = -2x + 16 \end{cases} \]

Dodajemy stronami i otrzymujemy

\[ 5y=8\Rightarrow y=\frac{8}{5} \]

Podstawiamy \( y=\frac{8}{5} \) do pierwszego równania tzn. \( y=2x-8 \), a następnie wymnażamy je przez \( 5 \) aby pozbyć się ułamka

\[ \frac{8}{5} = 2x - 8\; / \cdot 5 \]\[ 8 = 10x - 40 \Rightarrow x=\frac{24}{5} \]

Skoro \( S = \left(\frac{24}{5},\frac{8}{5} \right) \) jest środkiem odcinka \( BC \), to współrzędne punktu \( B= (x, y) \) spełniają warunek

\[ \begin{cases} \frac{24}{5}=\frac{x+2}{2} \\ \frac{8}{5}=\frac{y+3}{2} \end{cases} \]

Po rozwiązaniu powyższego równania otrzymujemy \( B = \left(\frac{38}{5}, \frac{1}{5} \right) \)