Rok: 2020
Matura: Egzamin główny
Poziom matury: Podstawowy
Numer w arkuszu: 32
Punkty: 4
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne otwarte, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2020 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 4 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: równanie prostej, układ równań, długość odcinka, pole i przekątna kwadratu.
Treść zadania:
Dany jest kwadrat \( ABCD \), w którym \( A=(5,-\frac{5}{3}) \). Przekątna \( BD \) tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu \( y=\frac{4}{3}x \). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych \( AC \) i \( BD \) oraz pole kwadratu \( ABCD\).
Podpowiedź do zadania
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku:
Przekątna \( AC \) jest zawarta w prostej prostopadłej do prostej \( BD \) i przechodzi przez punkt \( A \). Po znalezieniu równania prostej \( AC \), szukamy jej punktu wspólnego \( S \) z przekątną \( BD\).
Jeżeli oznaczymy przez \( a \) długość boku kwadratu, to jego przekątna będzie równa \( a \sqrt{2}\). Mamy wtedy:
\( \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{AC}{2}=AS\)
Korzystamy teraz ze wzoru na długość odcinka \( AS \), by obliczyć \( a \).
Więcej znajdziesz na stronie: Wzory maturalne - geometria analityczna.