Zadanie z: 2008
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 5
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2008 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 5 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty, pole trójkąta, długość odcinka.
Treść zadania
Prosta o równaniu \( 5x-4y-10=0 \) przecina oś \( Ox \) układu współrzędnych w punkcie \( A \) raz oś \( Oy \) w punkcie \( B \). Oblicz współrzędne wszystkich punktów \( C \) leżących na osi \( Ox \) i takich, że trójkąt \( ABC \) ma pole równe \( 35 \).
Podpowiedź do zadania
Punkty \( A \) i \( B \) możemy odczytać ze wzoru, następnie podstawiamy do wzoru na pole trójkąta, aby obliczyc długość odcinka \( AC \). Mając długość odcinka \( AC \) i współrzędne punktu \( A \) obliczamy współrzędne punktów \( C \).Zobacz więcej tutaj: Wzory maturalne - Geometria analityczna
Rozwiązanie zadania
Rysunek pomocniczy:
Ze wzoru łatwo odczytać współrzędne punktu \( A \) i \( B \). \( A=\left(2, 0 \right) \) oraz \( B=\left(0, 2\frac{1}{2} \right) \). Wysokość naszego trójkąta wynosi: \( h=2\frac{1}{2} \) co widać z wykresu, podstawiamy do wzoru na pole trójkąta aby obliczyć długość odcinak \( AC \).
\[ 35=\frac{1}{2}AC\cdot 2\frac{1}{2} \]
Obliczamy długość odcinka \( AC \):
\[ 70=2\frac{1}{2}AC \]\[ AC=\frac{70}{2,5}=28 \]
Teraz szukamy na osi Ox punktów \( C \) odległych o \( 28 \) od punktu \( A=\left(2, 0 \right) \). Zatem \( C=\left(2-28, 0 \right) \) oraz \( C=\left(2+28, 0 \right) \).