Rok: 2021
Matura: Egzamin główny
Poziom matury: Rozszerzony
Numer w arkuszu: 14
Punkty: 6
Cały arkusz
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2021 roku poziom rozszerzony, za które można było uzyskać 6 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: wzór na odległość punktu od prostej, równanie prostej, wzór na pole trójkąta, równanie kwadratowe, twierdzenie cosinusów, rozwiązywanie nierówności.
Treść zadania:
Dane są parabola o równaniu \(y=x^2\) oraz punkty \(A=(0,2)\) i \(B=(1,3)\) (zobacz rysunek).
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty \(A B C\), których wierzchołek \(C\) leży na tej paraboli. Niech \(m\) oznacza pierwszą współrzędna punktu \(C\).
a) Wyznacz pole \(P\) trójkąta \(A B C\) jako funkcję zmiennej \(m\).
b) Wyznacz wszystkie wartości \(m\), dla których trójkąt \(A B C\) jest ostrokątny.
Podpowiedź do zadania
a) Niech \(C=\left(m, m^2\right)\) będzie dowolnym punktem danej paraboli. Żeby obliczyć pole trójkąta \(A B C\) korzystamy ze wzoru na odległość punktu \(P=\left(x_0, y_0\right)\) od prostej \(A x+ B y+C=0\) :
\(\frac{\left|A x_0+B y_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
Trzeba najpierw wyznaczyć równanie prostej \(A B\).
b) Jeżeli \(\alpha\) jest kątem trójkąta leżącym naprzeciw boku długości \(a\), to na mocy twierdzenia cosinusów:
\(c^2=a^2+b^2-2 a b \cos \alpha \)
\(\cos \alpha=\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b} \)
Trzeba będzie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, a następnie wyznaczyć nierówności dla każdego z boków trójkąta, by zobaczyć, który z nich jest najdłuższy.
Więcej wzorów znajdziesz na stronie Wzory maturalne - geometria analityczna.
Loading...