Zadanie #42

Rok: 2021

Matura: Egzamin główny

Poziom matury: Rozszerzony

Numer w arkuszu: 14

Punkty: 6

Arkusz maturalny matematyka Cały arkusz

Opis zadania

Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2021 roku poziom rozszerzony, za które można było uzyskać 6 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: wzór na odległość punktu od prostej, równanie prostej, wzór na pole trójkąta, równanie kwadratowe, twierdzenie cosinusów, rozwiązywanie nierówności.

Treść zadania:

Dane są parabola o równaniu \(y=x^2\) oraz punkty \(A=(0,2)\) i \(B=(1,3)\) (zobacz rysunek).

parabola tresc zadania

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty \(A B C\), których wierzchołek \(C\) leży na tej paraboli. Niech \(m\) oznacza pierwszą współrzędna punktu \(C\).

a) Wyznacz pole \(P\) trójkąta \(A B C\) jako funkcję zmiennej \(m\).

b) Wyznacz wszystkie wartości \(m\), dla których trójkąt \(A B C\) jest ostrokątny.

Wskazówka do zadania

Podpowiedź do zadania

a) Niech \(C=\left(m, m^2\right)\) będzie dowolnym punktem danej paraboli. Żeby obliczyć pole trójkąta \(A B C\) korzystamy ze wzoru na odległość punktu \(P=\left(x_0, y_0\right)\) od prostej \(A x+ B y+C=0\) :

\(\frac{\left|A x_0+B y_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

Trzeba najpierw wyznaczyć równanie prostej \(A B\).

b) Jeżeli \(\alpha\) jest kątem trójkąta leżącym naprzeciw boku długości \(a\), to na mocy twierdzenia cosinusów:

\(c^2=a^2+b^2-2 a b \cos \alpha \)

\(\cos \alpha=\frac{a^2+b^2-c^2}{2 a b} \)

Trzeba będzie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, a następnie wyznaczyć nierówności dla każdego z boków trójkąta, by zobaczyć, który z nich jest najdłuższy.

Więcej wzorów znajdziesz na stronie Wzory maturalne - geometria analityczna.

kursy-maturalne-matematyka

Oceń użyteczność zadania:

Chcielibyśmy wiedzieć, jak oceniasz to zadanie pod względem użyteczności w nauce i pomocy w zrozumieniu tematu. Prosimy, nie oceniaj trudności samego zadania, ale skup się na tym, jak pomogło Ci ono w nauce.

0 votes, average: 0,00 out of 50 votes, average: 0,00 out of 50 votes, average: 0,00 out of 50 votes, average: 0,00 out of 50 votes, average: 0,00 out of 5

Liczba ocen: 0, średnia ocena: 0,00
Aby móc wystawić ocenę musisz być zalogowany.

Loading...

Ostatnio dodane na stronie

Wierzymy, że najlepszym sposobem nauki jest praktyka. Dlatego stale aktualizujemy naszą bazę zadań, abyś miał dostęp do najnowszych i najbardziej aktualnych treści. Oto kilka z naszych najnowszych zadań maturalnych, które pomogą Ci być o krok przed innymi.

Zadanie #1566
Zadanie #1566
2019
Zadanie #1565
Zadanie #1565
2019
Zadanie #1440
Zadanie #1440
2019
Zadanie #1302
Zadanie #1302
2019
Zadanie #1197
Zadanie #1197
2020
Zadanie #1196
Zadanie #1196
2020