Zadanie z: 2011
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Rodzaj zadania: Otwarte
Punkty: 4
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne otwarte, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2011 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać aż 4 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: styczna do okręgu, proste prostopadłe i układy równań.
Treść zadania
Okrąg o środku w punkcie \( S = (3, 7) \) jest styczny do prostej o równaniu \( y = 2x – 3 \). Oblicz
współrzędne punktu styczności.
Podpowiedź do zadania
Piszemy równanie prostej przechodzącą przez środek okręgu i prostopadłej do prostej będącej styczną do okręgu.
Następnie tworzymy układ równań dla obu prostych i szukamy punktu wspólnego, będącego rozwiązaniem danego równania.
Zobacz więcej tutaj: Wzory maturalne - Geometria analityczna
Rozwiązanie zadania
Piszemy równanie prostej przechodzącą przez środek okręgu i prostopadłej do prostej będącej styczną do okręgu.
Oznaczamy punkt styczności jako \( A \), wówczas prosta \( SA \) i prosta \( y = 2x - 3 \) są prostopadłe. Stąd wiemy, że prosta \( SA \) ma postać \( y = -\frac{1}{2}x +b \).
Współczynnik \( b \) obliczamy podstawiając do równania współrzędne punktu \( S \).
\[ S = (3, 7) \]
\[ 7 = -\frac{1}{2} \cdot 3 +b \]
\[ 7 = -\frac{3}{2} +b \]
\[ b=7 + \frac{3}{2}=\frac{17}{2} \]
Rozwiązując układ równań składający się z prostej \( y = 2x - 3 \) oraz prostej \( SA \) wyznaczamy współrzędne punktu \( A \).
\[ \left\{\begin{matrix} y=2x-3 \\ y= -\frac{1}{2}x + \frac{17}{2} \end{matrix}\right. \]
Przyrównujemy oba równania do siebie i wymnażamy przez \( 2 \), aby pozbyć się ułamków.
\[ 2x-3=-\frac{1}{2}x + \frac{17}{2} \; / \cdot 2 \]
\[ 4x-6=-x + 17 \]
\[ 5x=23 \; / :5 \]
\[ x=\frac{23}{5}=4,6 \]
Obliczamy \( y \).
\[ y=2x-3 \]
\[ y=9,2-3=6,2 \]