Zadanie z: 2008
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 4
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2008 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 4 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: wykres funkcji, długość odcinka, równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, zbiór rozwiązań funkcji.
Treść zadania
Na poniższym rysunku przedstawiono łamaną \( ABCD \), która jest wykresem funkcji \( y=\left(x \right) \).
Korzystając z tego wykresu:
a) zapisz w postaci przedziału zbiór wartości funkcji \( f \),
b) podaj wartość funkcji \( f \) dla argumentu \( x=1-\sqrt{10} \)
c) wyznacz równanie prostej \( BC \),
d) oblicz długość odcinka \( BC \).
Podpowiedź do zadania
Przedział odczytujemyz wykresu, obliczając przybliżoną wartość \( x \) z wykresu możemy również odczytać jej wartość, odczytując punkty \( B \) i \( C \) z wykresu piszemy równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty z gotowych wzorów, podobnie korzystamy ze wzoru korzystamy aby obliczyć długość odcinka.Zobacz więcej tutaj: Tablice matematyczne - Geometria analityczna
Rozwiązanie zadania
Zbiór wartości funkcji \( f \), można odczytać bezpośrednio z wykresu
Obliczamy ile w przybliżeniu wynosi wartość argumentu \( x \)
\[ 1-\sqrt{10} \approx 1-3,16 = -2,16 \]
Nasza funkcja w przedziale \( \left<-3,\; -2 \right> \) jest stała i wynosi \( -4 \)
Korzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty \( B= \left( \stackrel{x }{-2} ,\stackrel{y }{-4} \right) \) oraz \( C= \left( \stackrel{x }{2} ,\stackrel{y }{3} \right) \)
\[ \left(y-y_{A} \right)\left(x_{B}-x_{A} \right)-\left(y_{B}-y_{A} \right)\left(x-x_{A} \right)=0 \]
W naszym przypadku to będzie:
\[ \left(y+4 \right)\left(2+2 \right)-\left(3+4 \right)\left(x+2\right)=0 \]\[ 4\left(y+4 \right)-7\left(x+2 \right)=0 \]\[ 4y+16-7x-14=0 \]\[ 4y-7x+2=0 \]
Korzystamy ze wzoru na długość odcinka
\[ \left|AB \right|=\sqrt{\left(x_{B} - x_{A} \right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}} \]
Liczymy zatem długość odcinka \( \left| BC \right| \)
\[ \left| BC \right| =\sqrt{\left(2-\left(-2 \right) \right)^{2}+\left(3-\left(-4 \right) \right)^{2}} \]\[ \left| BC \right| =\sqrt{16+49}=\sqrt{65} \]