Zadanie z: 2009
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 5
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2009 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 5 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: funkcje trygonometryczne, odejmowanie ułamków, sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika, jedynka trygonometryczna, wyciąganie przed nawias, pierwiastkowanie, potęgowanie, rozwiązywanie równań.
Treść zadania
Miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa \( a \).
a) Uzasadnij, że spełniona jest nierówność \( sin\alpha -tg\alpha <0 \).
b) Dla \( sin\alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3} \) oblicz wartość wyrażenia \( cos^{3}\alpha +cos\alpha \cdot sin^{2}\alpha \).
Podpowiedź do zadania
a) Robimy rysunek pomocniczy i wyznaczamy funkcje sinus i tangens, następnie dwa otrzymane ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika i odejmujemy.b) Wyciągając funkcję cosinus przed nawias w nawiasie otrzymujemy rozwinięcie wzoru na jedynkę trygonometryczną. W ten sposób pozostaje jedynie wyznaczenie wartości funkcji cosinus, a do tego celu ponownie możemy wykorzystać jedynkę trygonometryczną.
Zobacz więcej tutaj: Wzory maturalne - funkcje trygonometryczne
Rozwiązanie zadania
Zacznijmy od rysunku pomocniczego.
a) Korzystając z rysunku wyznaczamy funkcje trygonometryczne, a następnie je odejmujemy.
\[ sin\alpha =\frac{a}{c} \]\[ tg\alpha =\frac{a}{b} \]
\[ \frac{a}{c}-\frac{a}{b}=\frac{ab-ac}{bc}=\frac{a\left(b-c \right)}{bc} \]
Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem w trójkącie prostokątnym, co za tym idzie w nawiasie otrzymamy liczbę ujemną, przez co cała wartość wyrażenia również będzie ujemna, a więc mniejsza od zera.
W wyrażeniu poniżej, możemy wyciągnąć cosinusa przed nawias.
\[ cos^{3}\alpha + cos\alpha sin^{2}\alpha \]\[ cos\alpha \left(cos^{2}\alpha + sin^{2}\alpha \right)=cos\alpha \]
W ten sposób w nawiasie otrzymamy wzór na jedynkę trygonometryczną, co pozwoli na uproszczenie wyrażenia do samego cosinusa.
\[ cos^{2}\alpha + sin^{2}\alpha =1 \]\[ cos^{2}\alpha =\sqrt{1-sin^{2}\alpha } \]
Teraz ponownie korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczamy wartość sinus. Po podstawieniu otrzymujemy.
\[ cos^{2}\alpha =\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt{2}}{3} \right)^{2}} \]\[ cos^{2}\alpha =\sqrt{1-\left(\frac{4\cdot 2 }{3} \right)^{2}} \]\[ cos^{2}\alpha =\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{9} \]\[ cos\alpha =\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3} \]