Zadanie #68

Zadanie z: 2009

Matura: G艂贸wna

Poziom matury: Podstawowa

Punkty: 5

Opis zadania

Jest to zadanie maturalne, kt贸re pochodzi z egzaminu maturalnego z 2009 roku poziom podstawowy, za kt贸re mo偶na by艂o uzyska膰 5 punkt贸w. W zadaniu poruszane s膮 takie zagadnienia jak: funkcje trygonometryczne, odejmowanie u艂amk贸w, sprowadzanie u艂amk贸w do wsp贸lnego mianownika, jedynka trygonometryczna, wyci膮ganie przed nawias, pierwiastkowanie, pot臋gowanie, rozwi膮zywanie r贸wna艅.

Tre艣膰 zadania

Miara jednego z k膮t贸w ostrych w tr贸jk膮cie prostok膮tnym jest r贸wna \( a \).
a) Uzasadnij, 偶e spe艂niona jest nier贸wno艣膰 \( sin\alpha -tg\alpha <0 \).
b) Dla \( sin\alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3} \) oblicz warto艣膰 wyra偶enia \( cos^{3}\alpha +cos\alpha \cdot sin^{2}\alpha \).

Wskaz贸wka do zadania

Podpowied藕 do zadania

a) Robimy rysunek pomocniczy i wyznaczamy funkcje sinus i tangens, nast臋pnie dwa otrzymane u艂amki sprowadzamy do wsp贸lnego mianownika i odejmujemy.

b) Wyci膮gaj膮c funkcj臋 cosinus przed nawias w nawiasie otrzymujemy rozwini臋cie wzoru na jedynk臋 trygonometryczn膮. W ten spos贸b pozostaje jedynie wyznaczenie warto艣ci funkcji cosinus, a do tego celu ponownie mo偶emy wykorzysta膰 jedynk臋 trygonometryczn膮.

Zobacz wi臋cej tutaj: Wzory maturalne - funkcje trygonometryczne

Rozwi膮zanie zadania

A

Zacznijmy od rysunku pomocniczego.

Zadania maturalne - Funkcje trygonometryczne

a) Korzystaj膮c z rysunku wyznaczamy funkcje trygonometryczne, a nast臋pnie je odejmujemy.

\[ sin\alpha =\frac{a}{c} \]\[ tg\alpha =\frac{a}{b} \]

\[ \frac{a}{c}-\frac{a}{b}=\frac{ab-ac}{bc}=\frac{a\left(b-c \right)}{bc} \]

Przeciwprostok膮tna jest najd艂u偶szym bokiem w tr贸jk膮cie prostok膮tnym, co za tym idzie w nawiasie otrzymamy liczb臋 ujemn膮, przez co ca艂a warto艣膰 wyra偶enia r贸wnie偶 b臋dzie ujemna, a wi臋c mniejsza od zera.

B

W wyra偶eniu poni偶ej, mo偶emy wyci膮gn膮膰 cosinusa przed nawias.

\[ cos^{3}\alpha + cos\alpha sin^{2}\alpha \]\[ cos\alpha \left(cos^{2}\alpha + sin^{2}\alpha \right)=cos\alpha \]

W ten spos贸b w nawiasie otrzymamy wz贸r na jedynk臋 trygonometryczn膮, co pozwoli na uproszczenie wyra偶enia do samego cosinusa.

\[ cos^{2}\alpha + sin^{2}\alpha =1 \]\[ cos^{2}\alpha =\sqrt{1-sin^{2}\alpha } \]

Teraz ponownie korzystaj膮c z jedynki trygonometrycznej obliczamy warto艣膰 sinus. Po podstawieniu otrzymujemy.

\[ cos^{2}\alpha =\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt{2}}{3} \right)^{2}} \]\[ cos^{2}\alpha =\sqrt{1-\left(\frac{4\cdot 2 }{3} \right)^{2}} \]\[ cos^{2}\alpha =\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{9} \]\[ cos\alpha =\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3} \]