Zadanie z: 2008
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 4
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2008 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 4 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: funkcja tangens, dzielenie przez nawias, usuwanie niewymierności z mianownika.
Treść zadania
Dany jest trapez, w którym podstawy mają długość \( 4 \) cm i \( 10 \) cm oraz ramiona tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach \( 30^{\circ} \) i \( 45^{\circ} \). Oblicz wysokość tego trapezu.
Podpowiedź do zadania
Wyznaczamy zależność między \( AE \), a \( h \) oraz \( FB \) i \( h \). Wiemy, że cała podstawa wynosi \( 10 \) i jest to suma \( AE \), \( FB \) i \( 4 \).Zobacz więcej tutaj: Wzory matematyczne - Planimetria oraz Wzory matematyczne - Trygonometria
Rozwiązanie zadania
Obliczając tangensy kątów przy podstawie otrzymujemy:
\[ \frac{h}{AE} = tg \, 45^{\circ} \]\[ EA = \frac{h}{tg\, 45^{\circ} } \]
Wartość funkcji tangens odczytujemy z tablic
\[ tg\, 45^{\circ} = 1 \]
Zatem
\[ AE = h \]
Analogicznie liczymy dla kąta \( 30^{\circ} \):
\[ \frac{h}{FB} = tg\, 30^{\circ} \]\[ FB = \frac{h}{tg\, 30^{\circ} } = \frac{h}{\frac{\sqrt{3}}{3}} \]
Dzielenie przez ułamek tzn. mnożenie przez jego odwrotność
\[ FB = h \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3h}{\sqrt{3}} \]
Następnie usuwany niewymierność z mianownika
\[ FB = \frac{3h}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3h\sqrt{3}}{3} \]\[ FB = h\sqrt{3} \]
Teraz wyliczone wartości po z sumowaniu dadzą nam wartość podstawy:
\[ AE + FB + 4 =10 \]
Podstawiając dane otrzymujemy:
\[ h + h\sqrt{3} + 4 =10 \]\[ h + h\sqrt{3} = 10 - 4 = 6 \]
Wyciągamy wysokość przed nawias i otrzymujemy
\[ h\left(1+\sqrt{3} \right) = 6 \]
Dzielimy przez nawias, który stoi przy \( h \):
\[ h=\frac{6}{\left(1+\sqrt{3} \right)} \]
Usuwamy niewymierność z mianownika:
\[ h=\frac{6}{\left(1+\sqrt{3} \right)}\cdot \frac{\left(1-\sqrt{3} \right)}{\left(1-\sqrt{3} \right)} \]\[ h=\frac{6\left(1-\sqrt{3} \right)}{1^{2}-\sqrt{3}^{2}}=\frac{6\left(1-\sqrt{3} \right)}{-2} \]
\[ h=-3\left(1-\sqrt{3} \right)=-3 +3\sqrt{3} \]\[ h=3\sqrt{3}-3 \]