Zadanie z: 2011
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Rodzaj zadania: Zamknięte
Punkty: 1
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne zamknięte, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2011 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 1 punkt. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: funkcja trygonometryczna, jedynka trygonometryczna i Twierdzenie Pitagorasa.
Treść zadania
Kąt \( \alpha \) jest ostry i \( cos\alpha = \frac{5}{13} \). Wtedy
Podpowiedź do zadania
Rysując trójkąt prostokątny o przyprostokątnej długości \( 5 \) i przeciwprostokątnej długości \( 13 \), łatwo zauważyć, że bez problemu możemy obliczyć korzystając z Twierdzenia Pitagorasa długość drugiej przyprostokątnej.
Zobacz więcej tutaj: Wzory maturalne - Funkcje trygonometryczne
Rozwiązanie zadania
Korzystamy ze wzoru na jedynkę trygonometryczną, aby obliczyć \( sin\alpha \)
\[ sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1 \]\[ sin\alpha = \sqrt{1 - cos^{2}\alpha}= \]\[ = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13} \]
Mając wartość \( sin\alpha \) bez problemu obliczymy \( tg\alpha \)
\[ tg \alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}= \]\[ =\frac{12}{13}:\frac{5}{13}=\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5}=\frac{12}{5} \]