Zadanie z: 2010
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Rodzaj zadania: Otwarte
Punkty: 2
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne otwarte, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2010 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 2 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: funkcje trygonometryczne i twierdzenie pitagorasa.
Treść zadania
Kąt \( \alpha \) jest ostry i \( tg\alpha=\frac{5}{12} \). Oblicz \( cos\alpha \).
Podpowiedź do zadania
Kąt \( \alpha \) jest kątem w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości \( 5 \) i \( 12 \). Długość przeciwprostokątnej możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa.Zobacz więcej tutaj: Wzory maturalne - Funkcje trygonometryczne
Rozwiązanie zadania
Liczymy
\[ tg\alpha =\frac{5}{12}=\frac{sin\alpha }{cos\alpha }\;\; /\left( \right)^{2} \]\[ \frac{25}{144}=\frac{sin^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha} \]\[ sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha =1 \]\[ sin^{2}\alpha = 1 - cos^{2}\alpha \]\[ \frac{25}{144}=\frac{1-cos^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha}= \frac{1}{cos^{2}\alpha}-1\]\[ \frac{1}{cos^{2}\alpha}=\frac{25}{144}+1=\frac{169}{144} \]\[ \frac{1}{cos^{2}\alpha}=\frac{169}{144}\; \; /\left( \right)^{-1} \]\[ cos^{2}\alpha=\frac{144}{169}\; \; /\sqrt{ } \]\[ cos\alpha=\frac{12}{13} \]
Kąt \( \alpha \) jest kątem w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości \( 5 \) i \( 12 \). Długość przeciwprostokątnej możemy obliczyć korzystając z Twierdzenia Pitagorasa. Mając długość wszystkich boków do wyznaczenie wartości funkcji cosinus korzystamy z wzoru ogólnego na tą funkcje.