Zadanie z: 2008
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 3
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2008 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 3 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: funkcja wykładnicza, wykres funkcji wykładniczej, monotoniczność funkcji.
Treść zadania
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji \( h \), określonej wzorem \( h\left(x \right)=\frac{a}{x} \) dla \( x\neq 0 \). Wiadomo, że do wykresu funkcji \( h \) należy punkt \( P=\left(2, \, 5 \right) \).
a) Oblicz wartość współczynnika \( a \).
b) Ustal, czy liczba \( h\left( \pi \right)- h\left( -\pi \right) \) jest dodatnia czy ujemna.
c) Rozwiąż nierówność \( h\left( x \right)>5 \).
Podpowiedź do zadania
a) Mając współrzędnę punktu \( P=\left(2, \, 5 \right) \) możemy obliczyć współczynnik kierunkowy prostej \( a \).b) Interesujące nas wartości odczytamy z wykresu.
c) Podstawiamy do wzoru i obliczamy daną nierówność.
Rozwiązanie zadania
a) Podstawiamy wartości współrzędnych punktu \( P=\left(2, \, 5 \right) \) do naszego równania
\[ h\left(x \right)=\frac{a}{x} \]\[ h\left(2 \right)=\frac{a}{2}=5 \]\[ \frac{a}{2}=5\; / \cdot 2 \]\[ a=10 \]
b) Na podstawie wzoru oraz wykresu widać, że dla wartości dodatnich funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla wartości ujemnych ujemne, zatem skoro \( h\left( \pi \right) > 0 \) oraz \( h\left( -\pi \right) < 0 \), to:
\[ h\left( \pi \right) -h\left( -\pi \right) >0 \]
c) Rozwiązanie najprościej odczytać z wykresu, jest to: \( x \in \left(0, \, 2 \right) \)