Zadanie z: 2008
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 5
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2008 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać aż 5 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: najmniejsza wartość funkcji, największa wartość funkcji, postać iloczynowa funkcji kwadratowej, funkcja kwadratowa, wyciąganie przed nawias, współczynnik kierunkowy, współrzędne wierzchołka paraboli.
Treść zadania
Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \( f\left(x \right)=\left(2x+1 \right)\left(x-2 \right) \) w przedziale \( <-2, \, 2>\).
Podpowiedź do zadania
Przekształcamy równanie do postaci iloczynowej wyciagając \( 2\) przed nawias. Znając współczynnik kierunkowy funkcji oraz miejsca zerowe funkcji kwadratowej (na podstawie postaci iloczynowej) rysujemy wykres.Zobacz więcej tutaj: Wzory maturalne - Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie zadania
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej to:
\[ f\left(x \right)=a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right) \]
Teraz zapisujemy naszą funkcję w postaci iloczynowej wyciągając \( 2\) przed nawias:
\[ f\left(x \right)=2\left(x+\frac{1}{2} \right)\left(x-2 \right) \]
Z wzoru można odczytać miejsca zerowe funkcji:
\[ x_{1}=\, - \frac{1}{2} \]\[ x_{2}= 2 \]
Oraz współczynnik kierunkowy, który wynosi \( 2\) i jest większy od \( 0\):
\[ a=2>0 \]
Mając te dane rysujemy wykres funkcji:
Najmniejszą wartość funkcja przyjmuje się w wierzchołku paraboli, który należy do naszego przedziału \( <-2, \, 2>\). Aby obliczyć współrzędne wierzchołka przekształcamy postać iloczynową do postaci ogólnej.
\[ f\left(x \right)=\left(2x-1 \right)\left(x-2 \right)= \]\[ =2x^{2}-3x-2 \]
Wzór na współrzędne \( y\) wierzchołka paraboli to \( y_{w}=-\frac{ \Delta }{4a} \), zatem liczymy deltę, a następnie \( y_{w} \)
\[ \Delta = b^{2} - 4ac \]\[ \Delta = 3^{2} - 4\cdot 2\cdot \left(-2 \right) = 25 \]\[ y_{w}=- \frac{25}{8} \]
Największa wartość funkcji przyjmowana jest w jednym z końców przedziału, liczymy każdy z nich:
\[ f\left(-2 \right)=2\left(-2 \right)^{2}-3\left(-2 \right) -2= \]\[ = 8 +6 -2 =12 \]\[ f\left(2 \right)=2\cdot 2^{2}-3\cdot 2 -2= 0 \]