Zadanie #62

Zadanie z: 2008

Matura: G艂贸wna

Poziom matury: Podstawowa

Punkty: 5

Opis zadania

Jest to zadanie maturalne, kt贸re pochodzi z egzaminu maturalnego z 2008 roku poziom podstawowy, za kt贸re mo偶na by艂o uzyska膰 a偶 5 punkt贸w. W zadaniu poruszane s膮 takie zagadnienia jak: najmniejsza warto艣膰 funkcji, najwi臋ksza warto艣膰 funkcji, posta膰 iloczynowa funkcji kwadratowej, funkcja kwadratowa, wyci膮ganie przed nawias, wsp贸艂czynnik kierunkowy, wsp贸艂rz臋dne wierzcho艂ka paraboli.

Tre艣膰 zadania

Oblicz najmniejsz膮 i najwi臋ksz膮 warto艣膰 funkcji kwadratowej \( f\left(x \right)=\left(2x+1 \right)\left(x-2 \right) \) w przedziale \( <-2, \, 2>\).

Wskaz贸wka do zadania

Podpowied藕 do zadania

Przekszta艂camy r贸wnanie do postaci iloczynowej wyciagaj膮c \( 2\) przed nawias. Znaj膮c wsp贸艂czynnik kierunkowy funkcji oraz miejsca zerowe funkcji kwadratowej (na podstawie postaci iloczynowej) rysujemy wykres.

Zobacz wi臋cej tutaj: Wzory maturalne - Funkcja kwadratowa

Rozwi膮zanie zadania

Posta膰 iloczynowa funkcji kwadratowej to:

\[ f\left(x \right)=a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right) \]

Teraz zapisujemy nasz膮 funkcj臋 w postaci iloczynowej wyci膮gaj膮c \( 2\) przed nawias:

\[ f\left(x \right)=2\left(x+\frac{1}{2} \right)\left(x-2 \right) \]

Z wzoru mo偶na odczyta膰 miejsca zerowe funkcji:

\[ x_{1}=\, - \frac{1}{2} \]\[ x_{2}= 2 \]

Oraz wsp贸艂czynnik kierunkowy, kt贸ry wynosi \( 2\) i jest wi臋kszy od \( 0\):

\[ a=2>0 \]

Maj膮c te dane rysujemy wykres funkcji:

Funkcja kwadratowa - zadania maturalne

Najmniejsz膮 warto艣膰 funkcja przyjmuje si臋 w wierzcho艂ku paraboli, kt贸ry nale偶y do naszego przedzia艂u \( <-2, \, 2>\). Aby obliczy膰 wsp贸艂rz臋dne wierzcho艂ka przekszta艂camy posta膰 iloczynow膮 do postaci og贸lnej.

\[ f\left(x \right)=\left(2x-1 \right)\left(x-2 \right)= \]\[ =2x^{2}-3x-2 \]

Wz贸r na wsp贸艂rz臋dne \( y\) wierzcho艂ka paraboli to \( y_{w}=-\frac{ \Delta }{4a} \), zatem liczymy delt臋, a nast臋pnie \( y_{w} \)

\[ \Delta = b^{2} - 4ac \]\[ \Delta = 3^{2} - 4\cdot 2\cdot \left(-2 \right) = 25 \]\[ y_{w}=- \frac{25}{8} \]

Najwi臋ksza warto艣膰 funkcji przyjmowana jest w jednym z ko艅c贸w przedzia艂u, liczymy ka偶dy z nich:

\[ f\left(-2 \right)=2\left(-2 \right)^{2}-3\left(-2 \right) -2= \]\[ = 8 +6 -2 =12 \]\[ f\left(2 \right)=2\cdot 2^{2}-3\cdot 2 -2= 0 \]