Zadanie z: 2007
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 5
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2007 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 5 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: prędkość i czas, równania kwadratowe, rozwiązywanie równań.
Treść zadania
Samochód przebył w pewnym czasie \( 210 km \). Gdyby jechał ze średnią prędkością o \( 10 km/h \) większą, to czas przejazdu skróciłby się, o pół godziny. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten samochód.
Podpowiedź do zadania
Wykorzystujemy wzór na średnią prędkość, na podstawie której mamy \( vt=210 km/h \), oraz \( t=210/v \) następnie zwiększamy średnią prędkość o \( 10 \) i czas o pół godziny i podstawiamy do pierwszej zależności, po wykorzystaniu podstawienia i wymnożeniu otrzymamy równanie kwadratowe, które wystarczy rozwiązać.Rozwiązanie zadania
Średnią prędkość samochodu oznaczamy jako \( v \), a czas w którym przejechał określony dystans jako \( t \). Wówczas wiemy, że:
\[ vt=210km \]
Przekształcając ten wzór otrzymujemy wartość \( t \):
\[ t=\frac{210}{v} \]
Jeśli zwiększymy prędkość o \( 10 km/h \), to czas skróci się o \( 0,5h \), podstawiając te zależności do naszego równania otrzymujemy:
\[ \left(v+10 \right)\left(t-\frac{1}{2} \right)=210 \]
Za \( t \) możemy podstawić poprzednio otrzymaną wartość, wówczas otrzymamy:
\[ \left(v+10 \right)\left(\frac{210}{v}-\frac{1}{2} \right)=210\;\; /\cdot 2v \]\[ \left(v+10 \right)\left(2\cdot 210-v \right)=210 \cdot 2v \]\[ 420v + 10 \cdot 420 -v^{2} -10v=420v \]\[ 0=v^{2}+10v-4200\; \; /:2 \]\[ 0=\frac{1}{2}v^{2}+5v-2100 \]
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, więc liczymy za pomocą \( \Delta \):
\[ \Delta =b^{2}-4ac \]\[ \Delta =5^{2}-4\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-2100 \right) \]\[ \Delta =25+4200=4225 \]\[ \sqrt{\Delta } = 65 \]
\[ v_{1}=\frac{-5-65}{\frac{1}{2}\cdot 2}=-70 \]\[ v_{2}=-5+65=60 \]
Odrzucamy pierwsze \( v \), prędkość nie może być ujemna.