Rok: 2022
Matura: Egzamin główny
Poziom matury: Rozszerzony
Numer w arkuszu: 12
Punkty: 5
Cały arkusz
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2022 roku poziom rozszerzony, za które można było uzyskać 5 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: granice funkcji, rozwiązywanie równań, wykresy funkcji trygonometrycznych, wzory Viète'a.
Treść zadania:
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2-(m+1) x+m=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \( x_1 \neq 0, x_2 \neq 0 \) oraz \( \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}\).
Podpowiedź do zadania
Sprawdzamy najpierw kiedy równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste (obliczamy deltę):
\(0<\Delta\)
Pierwiastki mają być dodatkowo niezerowe, więc musi też być \(m \neq 0\) (bo \(x=0\) jest rozwiązaniem równania wtedy i tylko wtedy, gdy \(m=0\) ). Przy tych założeniach możemy zapisać wzory Viète'a:
\(\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} & x_1+x_2=m+1 \\ & x_1 x_2=m \end{aligned} \end{matrix}\right.\)
Więcej wzorów znajdziesz na stronie Wzory maturalne - funkcja kwadratowa.
Loading...