Zadanie z: 2011
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Rodzaj zadania: Otwarte
Punkty: 5
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne otwarte, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2011 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać aż 5 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: układy równań, funkcja kwadratowa i zadania z treścią.
Treść zadania
Pewien turysta pokonał trasę \( 112 \) km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o \( 3 \) dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o \( 12 \) km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.
Podpowiedź do zadania
W zadaniu występują dwa scenariusze, więc układamy układ równań. Rozwiązaniem układu będzie równanie kwadratowe, rozwiązując je pamiętajmy że wynik nie może być ujemny.
Zobacz więcej tutaj: Wzory maturalne - Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie zadania
Zmienną obrazującą liczbę dni oznaczmy jako \( d \), a zmienną obrazującą kilometry jako \( k \). Z treści zadania wiemy, że:
\[ \left\{\begin{matrix} d \cdot k = 112 \\ \left (d+3 \right ) \cdot \left ( k-12 \right ) =112 \end{matrix}\right. \]
Wyznaczamy z pierwszego równania \( d \) i podstawiamy do drugiego równania.
\[ d \cdot k = 112 \; /:k \]
\[ d= \frac{112}{k} \]
\[ \left ( \frac{112}{k} +3\right )\left ( k-12 \right )=112 \]
Wymnażamy przez \( k \) aby pozbyć się ułamka, a następnie nawiasy przez siebie.
\[ \left ( \frac{112}{k} +3\right )\left ( k-12 \right )=112 \; \;/\cdot k \]
\[ \left ( 112 +3k \right )\left ( k-12 \right )=112k \]
\[ 112k -1344+3k^{2}-36k-112k=0 \]
Porządkujemy nasze równanie, a następnie dzielimy przez \( 3 \) aby pozbyć się dużych liczb i ułatwić dalsze obliczenia.
\[ 3k^{2}-36k-1344=0 \;/:3 \]
\[ k^{2}-12k-448=0 \]
Otrzymaliśmy typowe równanie kwadratowe, które liczymy przy pomocy wzoru \( \Delta =b^{2}-4ac \).
\[ \Delta =12^{2}-4 \cdot 1 \cdot \left ( -1344 \right ) \]
\[ \Delta =144+1792=1936=44^{2} \]
\[ k_{1}=\frac{12-44}{2}=-16< 0 \]
\[ k_{2}=\frac{12+44}{2}=28 \]
Pierwsze rozwiązanie odrzucamy ponieważ jest ujemne, a więc nasze szukane \( k=28 \).