Zadanie z: 2010
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Rodzaj zadania: Otwarte
Punkty: 5
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne otwarte, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2010 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 5 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: zadania z treścią, układy równań oraz równania kwadratowe.
Treść zadania
W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię \( 240 \; m^{2} \). Basen w drugim hotelu ma powierzchnię \( 350 \; m^{2} \) oraz jest o \( 5 \; m \) dłuższy i \( 2 \; m \) szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.
Podpowiedź do zadania
Dla ułatwienia wprowadzany oznaczenia \( s \) jako szerokość oraz \( d \) jako długość. Przy takich oznaczeniach mamy następujący układ równań. \[ \begin{cases} sd=240 \\ \left(s+2 \right)\left(d+5 \right)=350 \end{cases} \] Taki układ równań należy rozwiązać.Rozwiązanie zadania
Dla ułatwienia wprowadzany oznaczenia \( s \) jako szerokość oraz \( d \) jako długość. Przy takich oznaczeniach mamy następujący układ równań.
\[ \begin{cases} sd=240 \\ \left(s+2 \right)\left(d+5 \right)=350 \end{cases} \]
Wykonujemy mnożenie przez nawias w drugim równaniu
\[ sd+5s+2d+10=350 \]
Z pierwszego równania wiemy że: \( sd=240 \). Więc:
\[ 240+5s+2d+10=350 \]\[ 5s+2d=350-250=100 \]
Z pierwszego równania wyznaczamy wartość \( s \) i podstawiamy do naszego równania i obliczamy.
\[ s=\frac{240}{d} \]\[ 100=2d+5\cdot \frac{240}{d} \; /\cdot d \]\[ 100d=2d^{2}+1200 \; /: 2 \]\[ 50d=d^{2}+600 \]\[ d^{2}-50d+600=0 \]
Wyliczamy \( \Delta \):
\[ \Delta =\left(-50 \right)^{2}-4\cdot 1\cdot 600 \]\[ \Delta =100 \]\[ \sqrt{\Delta}=10 \]
Obliczamy \( d_{1} \) i \( d_{2} \).
\[ d_{1}=\frac{50-10}{2}=20 \]\[ d_{2}=\frac{50+10}{2}=30 \]
Dla \( d_{1} \)
\[ s_{1}=\frac{240}{d_{1}}=\frac{240}{20}=12 \]
A dla \( d_{2} \)
\[ s_{2}=\frac{240}{d_{1}}=\frac{240}{30}=8 \]
Wymiary basenu to \( 12\times 20 \) i \( 14\times 25 \) oraz \( 8\times 30 \) i \( 10\times 35 \).
Odpowiedź: