Rok: 2022
Matura: Egzamin główny
Poziom matury: Rozszerzony
Numer w arkuszu: 10
Punkty: 4
Cały arkusz
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2022 roku poziom rozszerzony, za które można było uzyskać 4 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: wzór ciągu geometrycznego, iloraz ciągu, rozwiązywanie układu równań, suma wyrazów ciągu.
Treść zadania:
Ciąg \(\left(a_n\right)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geqslant 1\), jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto \(a_1=675\) i \(a_{22}=\frac{5}{4} a_{23}+\frac{1}{5} a_{21}\). Ciąg \(\left(b_n\right)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geqslant 1\), jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu \(\left(a_n\right)\) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \(\left(b_n\right)\). Ponadto \(a_3=b_4\). Oblicz \( b_{1}\).
Podpowiedź do zadania
Dany ciąg geometryczny można zapisać również w innej formie:
\(a_{22}=\frac{5}{4} a_{23}+\frac{1}{5} a_{21}\)
\(a_1 q^{21}=\frac{5}{4} a_1 q^{22}+\frac{1}{5} a_1 q^{20}\)
Po obliczeniu ilorazu ciągu geometrycznego należy zapisać wzór na wyraz ogólny tego ciągu.
Więcej wzorów znajdziesz na stronie Wzory maturalne - ciągi geometryczne.
Loading...