Zadanie z: 2009
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 5
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2009 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 5 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: ciągi arytmetyczne, ciągi geometryczne, układy równań, środkowy wyraz ciągu geometrycznego, suma wyrazów ciągu geometrycznego, funkcja kwadratowa oraz współrzędne wierzchołka paraboli.
Treść zadania
Dany jest ciąg arytmetyczny \( \left(a_{n} \right) \) dla \( n\geq 1 \), w którym \( a_{7}=1 \), \( a_{11}=9 \).
a) Oblicz pierwszy wyraz \( a_{1} \) i różnicę \( r \) ciągu \( \left(a_{n} \right) \).
b) Sprawdź, czy ciąg (\( a_{7} \), \( a_{8} \), \( a_{11} \)) jest geometryczny.
c) Wyznacz takie \( n \) , aby \( S_{n} \) początkowych wyrazów ciągu \( \left(a_{n} \right) \) miała wartość najmniejszą.
Podpowiedź do zadania
a) Korzystając ze wzory na \( n-ty \) wyraz ciągu arytmetycznego tworzymy układ i wyliczamy \( r \) a następnie \( a_{1} \)b) Obliczamy \( a_{8} \) a następnie wykorzystujemy wzór na środkowy wyraz ciągu geometrycznego
c) Po podstawieniu do wzoru na \( S_{n} \), otrzymujemy równanie kwadratowe, z ramionami skierowanymi ku górze, najmniejsza wartość jest we współrzędna wierzchołka paraboli
Zobacz więcej tutaj: Ciągi arytmetyczne, Ciągi geometryczne oraz Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie zadania
Korzystając ze wzory na \( n-ty \) wyraz ciągu arytmetycznego tworzymy układ i wyliczamy \( r \)
\[ \begin{cases} a_{7}=a_{1}+6r=1 \\ a_{11}=a_{1}+10r=9 \end{cases} \]
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze aby skrócić \( a_{1} \), otrzymujemy:
Mając \( r \) wyznaczamy \( a_{1} \).
\[ a_{1}+6*2=1 \]
\[ a_{1}=1-12=-11 \]
Odpowiedź:
\[ a_{1}=-11, r=2 \]
Obliczamy \( a_{8} \)
\[ a_{8}=a_{7}+r=1+2=3 \]
Aby sprawdzić czy ciąg jest geometryczny sprawdzamy prawdziwość zależności na środkowy wyraz ciągu geometrycznego (1, 3, 9).
\[ a_{n}^{2}=a_{n-1}*a_{n+1} \]
\[ 3^{2}=1*9 \]
Równość jest prawdziwa, zatem dany ciąg jest geometryczny
Po podstawieniu do wzoru na \( S_{n} \), otrzymujemy równanie kwadratowe, z ramionami skierowanymi ku górze, najmniejsza wartość jest we współrzędnej wierzchołka paraboli.
\[ S_{n}=\frac{2a_{1}+\left(n-1\right)r}{2}*n \]
\[ S_{n}=\frac{-22+2\left(n-1\right)}{2}*n= \]
\[ =\left(-11+n-1\right)n=\left(n-12\right)n= \]
\[ =n^{2}-12n \]
Otrzymaną funkcja jest funkcją kwadratową, ramiona ma skierowane ku górze, najmniejsza wartość jest w wierzchołku paraboli o współrzędnych \( \left(p, q \right) \). Obliczamy wartość, współrzędnej \( p \):
\[ p=\frac{-b}{2a}=\frac{12}{2}=6 \]