Zadanie z: 2008
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 5
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2008 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 5 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: rozwiązywanie nierówności, ciąg arytmetyczny, n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
Treść zadania
Nieskończony ciąg liczbowy \( a_{n} \) jest określony wzorem \( a_{n}=2-\frac{1}{n} \), dla \( n= 1,\; 2,\; 3, … \)
a) Oblicz, ile wyrazów ciągu \( a_{n} \) jest mniejszych od \( 1,975 \).
b) Dla pewnej liczby \( x \) trzywyrazowy ciąg \( a_{2} \), \( a_{7} \), \( x \) jest arytmetyczny. Oblicz \( x \).
Podpowiedź do zadania
a) Aby obliczyć ile wyrazów jest mniejszych od \( 1,975 \) rozwiązujemy nierówność \( a_{n}<1,975 \).b) Korzystamy z własności, mówiącej o tym, że środkowy wyraz ciągu arytmetycznego jest dwukrotnie większy niż suma wyrazu poprzedniego i kolejnego.
Zobacz więcej tutaj: Wzory arytmetyczne - Ciągi arytmetyczne
Rozwiązanie zadania
a) rozwiązujemy nierówność:
\[ a_{n}<1,975 \]\[ 2-\frac{1}{n}<1,975 \]
Przenosimy liczby na jedną stronę i niewiadome na drugą
\[ 0,025 < \frac{1}{n} \]\[ n< \frac{1}{0,025} \]\[ n < 40 \]
b) Nasz szukany ciąg arytmetyczny spełnia taką zależność:
\[ 2a_{7}=a_{2}+x \]
Zatem
\[ 2\left(2-\frac{1}{7} \right)=2-\frac{1}{2}+x \]
Przenosimy liczby na jedną stronę a niewiadome na drugą
\[ 2\cdot 1\frac{6}{7}-1\frac{1}{2}=x \]
Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy aby móc wymnożyć przez liczbę
\[ 2\cdot \frac{13}{7}-1\frac{1}{2}=x \]\[ \frac{26}{7}-1\frac{1}{2}=x \]
Oba ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika aby móc wykonać odejmowanie
\[ \frac{52}{14}-1\frac{7}{14}=x \]\[ 3\frac{10}{14}-1\frac{7}{14}=x \]\[ x=2\frac{3}{14} \]