Rok: 2009
Matura: Egzamin główny
Poziom matury: Podstawowy
Numer w arkuszu: 7
Punkty: 5
Cały arkusz
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2009 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 5 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: ciągi arytmetyczne, ciągi geometryczne, układy równań, środkowy wyraz ciągu geometrycznego, suma wyrazów ciągu geometrycznego, funkcja kwadratowa oraz współrzędne wierzchołka paraboli.
Treść zadania:
Dany jest ciąg arytmetyczny \( \left(a_{n} \right) \) dla \( n\geq 1 \), w którym \( a_{7}=1 \), \( a_{11}=9 \).
a) Oblicz pierwszy wyraz \( a_{1} \) i różnicę \( r \) ciągu \( \left(a_{n} \right) \).
b) Sprawdź, czy ciąg (\( a_{7} \), \( a_{8} \), \( a_{11} \)) jest geometryczny.
c) Wyznacz takie \( n \) , aby \( S_{n} \) początkowych wyrazów ciągu \( \left(a_{n} \right) \) miała wartość najmniejszą.
Podpowiedź do zadania
a) Korzystając ze wzoru na \( n-ty \) wyraz ciągu arytmetycznego tworzymy układ i wyliczamy \( r \), a następnie \( a_{1} \).
b) Obliczamy \( a_{8} \), a następnie wykorzystujemy wzór na środkowy wyraz ciągu geometrycznego.
c) Po podstawieniu do wzoru na \( S_{n} \), otrzymujemy równanie kwadratowe, z ramionami skierowanymi ku górze, najmniejszą wartością jest współrzędna wierzchołka paraboli.
Zobacz więcej tutaj: Ciągi arytmetyczne, Ciągi geometryczne oraz Funkcja kwadratowa.
Loading...