Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
\[ \sin \alpha =\frac{a}{c} \]
\[ \cos \alpha =\frac{b}{c} \]
\[ \tan \alpha =\frac{a}{b} \]
\[ \sin \beta =\frac{b}{c} \]
\[ \cos \beta =\frac{a}{c} \]
\[ \tan \beta =\frac{b}{a} \]
Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych
\[ \sin \left(- x\right)=- \sin x \]
\[ \cos \left(-x \right)=\cos \left(x \right) \]
\[ \tan \left(-x \right)=- \tan x \]
\[ ctg\left(-x \right)=- ctg\left(x \right) \]
Znaczniki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach
| I | II | III | IV | |
|---|---|---|---|---|
| sin | + | + | – | – |
| cos | + | – | – | + |
| tg | + | – | + | – |
| ctg | + | – | + | – |
Wykresy funkcji trygonometrycznych
Wykres funkcji sinus
Wykres funkcji cosinus
Wykres funkcji tangens
Związki między funkcjami tego samego kąta
\[ \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha =1 \]
(jedynka trygonometryczna)
\[ \tan \alpha =\frac{ \sin \alpha }{\cos \alpha } \]
\( gdy \; \cos \alpha \neq 0 \; i \; \sin \alpha \neq 0 \)
Tabela wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych miar kąta
| \( \alpha \) | \( 0 ^{\circ} \) | \( 30 ^{\circ} \) | \( 45 ^{\circ} \) | \( 60 ^{\circ} \) | \( 90 ^{\circ} \) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | \( \frac{1}{6}\pi \) | \( \frac{1}{4}\pi \) | \( \frac{1}{3}\pi \) | \( \frac{1}{2}\pi \) | |
| \( sin\,\alpha \) | 0 | \( \frac{1}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | 1 |
| \( cos\,\alpha \) | 1 | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{1}{2} \) | 0 |
| \( tg\,\alpha \) | 0 | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) | 1 | \( \sqrt{3} \) | – |
Funkcje sumy i różnicy katów
Dla dowolnych kątów \( \alpha \) i \( \beta \) zachodzą równości:
\[ \sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \]
\[ \cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \]
\[ \sin \left(\alpha-\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta \]
\[ \cos \left(\alpha-\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \]
Ponadto mamy równości:
\[ \tan \left(\alpha +\beta \right)=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta } \]
\[ \tan \left(\alpha -\beta \right)=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta } \]
które zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem.
Funkcje podwojonego kąta
\[ \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \]
\[ \cos 2\alpha = \cos^{2} \alpha- \sin^{2} \alpha \]
\[ \cos 2\alpha = 1- 2 \sin^{2} \alpha = 2 \cos^{2} \alpha-1 \]
\[ \tan2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha} \]
Sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych
\[ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \]
\[ \sin \alpha-\sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \]
\[ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \]
\[ \cos \alpha-\cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \]
Wybrane wzory redukcyjne
\[ \sin \left(90 ^{\circ} + \alpha \right) = \cos \alpha \]
\[ \sin \left(90 ^{\circ}-\alpha \right) = \cos \alpha \]
\[ \sin \left(180 ^{\circ} + \alpha \right) = – \sin \alpha \]
\[ \sin \left(180 ^{\circ}-\alpha \right) = \sin \alpha \]
\[ \cos \left(90 ^{\circ} + \alpha \right) = -\sin \alpha \]
\[ \cos \left(90 ^{\circ}-\alpha \right) = \sin \alpha \]
\[ \cos \left(180 ^{\circ} + \alpha \right) = -\cos \alpha \]
\[ \cos \left(180 ^{\circ}-\alpha \right) = -\cos \alpha \]
\[ \tan \left(180 ^{\circ} + \alpha \right) = \tan \alpha \]
\[ \tan \left(180 ^{\circ}-\alpha \right) = -\tan \alpha \]
Okresowość funkcji trygonometrycznych
\[ \sin \left(\alpha +k \cdot 360^{ \circ}\right)=\sin \alpha \]
\[ \cos \left(\alpha +k \cdot 360^{ \circ}\right)=\cos \alpha \]
\[ \tan \left(\alpha +k \cdot 180^{ \circ}\right)=\tan \alpha \]
k – liczba całkowita