Trygonometria

Start / Wzory maturalne / Trygonometria

Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Wzory maturalne - Trygonometria - Trójkat prostokatny
\[ \sin \alpha =\frac{a}{c} \]
\[ \cos \alpha =\frac{b}{c} \]
\[ \tan \alpha =\frac{a}{b} \]
\[ \sin \beta =\frac{b}{c} \]
\[ \cos \beta =\frac{a}{c} \]
\[ \tan \beta =\frac{b}{a} \]

Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych

\[ \sin \left(- x\right)=- \sin x \]
\[ \cos \left(-x \right)=\cos \left(x \right) \]
\[ \tan \left(-x \right)=- \tan x \]
\[ ctg\left(-x \right)=- ctg\left(x \right) \]

Znaczniki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach

I II III IV
sin + + – –
cos + – – +
tg + – + –
ctg + – + –

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Wykres funkcji sinus

Wzory maturalne - Trygonometria - Sinusoida

Wykres funkcji cosinus

Wykres funkcji cosinus

Wykres funkcji tangens

Wykres funkcji tangens

Związki między funkcjami tego samego kąta

\[ \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha =1 \]

\( (jedynka \, trygonometryczna) \)

\[ \tan \alpha =\frac{ \sin \alpha }{\cos \alpha } \]

\( gdy \; \cos \alpha \neq 0 \; i \; \sin \alpha \neq 0 \)

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych miar kąta

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych

Funkcje sumy i różnicy katów

Dla dowolnych kątów \( \alpha \) i \( \beta \) zachodzą równości:
\[ \sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \]\[ \cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \]\[ \sin \left(\alpha – \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta \]\[ \cos \left(\alpha – \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \]
Ponadto mamy równości:
\[ \tan \left(\alpha +\beta \right)=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta } \]\[ \tan \left(\alpha -\beta \right)=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta } \]
które zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem.

Funkcje podwojonego kąta

\[ \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \]
\[ \cos \alpha = \cos^{2} \alpha- \sin^{2} \alpha = 1- 2 \sin^{2} \alpha \]
\[ 1- 2 \sin^{2} \alpha = 2 \cos^{2} \alpha – 1 \]
\[ \tan2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha} \]

Sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych

\[ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha – \beta}{2} \]\[ \sin \alpha – \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha – \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \]\[ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha – \beta}{2} \]\[ \cos \alpha – \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha – \beta}{2} \]

Wybrane wzory redukcyjne

\[ \sin \left(90 ^{\circ} + \alpha \right) = \cos \alpha \]
\[ \sin \left(90 ^{\circ} – \alpha \right) = \cos \alpha \]
\[ \sin \left(180 ^{\circ} + \alpha \right) = – \sin \alpha \]
\[ \sin \left(180 ^{\circ} – \alpha \right) = \sin \alpha \]
\[ \cos \left(90 ^{\circ} + \alpha \right) = -\sin \alpha \]
\[ \cos \left(90 ^{\circ} – \alpha \right) = \sin \alpha \]
\[ \cos \left(180 ^{\circ} + \alpha \right) = -\cos \alpha \]
\[ \cos \left(180 ^{\circ} – \alpha \right) = -\cos \alpha \]
\[ \tan \left(180 ^{\circ} + \alpha \right) = \tan \alpha \]
\[ \tan \left(180 ^{\circ} – \alpha \right) = -\tan \alpha \]

Okresowość funkcji trygonometrycznych

\[ \sin \left(\alpha +k*360^{ \circ}\right)=\sin \alpha \]\[ \cos \left(\alpha +k*360^{ \circ}\right)=\cos \alpha \]\[ \tan \left(\alpha +k*180^{ \circ}\right)=\tan \alpha \]
k – całkowite