Pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji
\[ \left[c \cdot f\left(x \right) \right]’=c\cdot f’\left(x \right) \]
dla \( c\in R \)
\[ \left[f\left(x \right)+g\left(x \right) \right]’=f’\left(x \right)+g’\left(x \right) \]
\[ \left[f\left(x \right)-g\left(x \right) \right]’=f’\left(x \right)-g’\left(x \right) \]
\[ \left[f\left(x \right) \cdot g\left(x \right) \right]’=f’\left(x \right) \cdot g\left(x \right)+f\left(x \right) \cdot g’\left(x \right) \]
\[ \left[\frac{f\left(x \right)}{g\left(x \right)} \right]’=\frac{f’\left(x \right) \cdot g\left(x \right)-f\left(x \right) \cdot g’\left(x \right)}{\left[g\left(x \right) \right]^{2}} \]
Pochodne niektórych funkcji
Niech \( a, b,c \) będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, \( n \) dowolną liczbą całkowitą.
| Funkcja | Pochodna funkcji |
|---|---|
|
\[ f\left(x \right)=c \]
|
\[ f’\left(x \right)=0 \]
|
|
\[ f\left(x \right)=ax+b \]
|
\[ f’\left(x \right)=a \]
|
|
\[ f\left(x \right)=ax^{2}+bx+c \]
|
\[ f’\left(x \right)=2ax+b \]
|
|
\[ f\left(x \right)=\frac{a}{x}, x\neq 0 \]
|
\[ f’\left(x \right)=-\frac{a}{x^{2}} \]
|
|
\[ f\left(x \right)=x^{n} \]
|
\[ f’\left(x \right)=n \cdot x^{n-1} \]
|
Równanie stycznej
Jeżeli funkcja \( f \) ma pochodną w punkcie \( x_{0} \), to równanie stycznej do wykresu funkcji \( f \) w punkcie \( \left(x_{0}, f\left(x_{0} \right) \right) \) dane jest wzorem \( y=ax+b \), gdzie współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pochodnej funkcji \( f \) w punkcie \( x_{0} \), to znaczy \( a=f’\left( x_{0} \right) \), natomiast \( b=f \left( x_{0} \right)-f’ \left( x_{0} \right) \cdot x_{0} \).
Równanie stycznej możemy zapisać w postaci \( y=f’\left(x_{0} \right) \cdot \left(x-x_{0} \right) +f\left(x_{0} \right) \).