Pochodna funkcji

Pochodna sumy, r贸偶nicy, iloczynu i ilorazu funkcji

\[ \left[c*f\left(x \right) \right]’=c*f’\left(x \right) \]

dla \( c\in R \)

\[ \left[f\left(x \right)+g\left(x \right) \right]’=f’\left(x \right)+g’\left(x \right) \]\[ \left[f\left(x \right)-g\left(x \right) \right]’=f’\left(x \right)-g’\left(x \right) \]\[ \left[f\left(x \right)g\left(x \right) \right]’=f’\left(x \right)g\left(x \right)+f\left(x \right)g’\left(x \right) \]\[ \left[\frac{f\left(x \right)}{g\left(x \right)} \right]’=\frac{f’\left(x \right)g\left(x \right)-f\left(x \right)g’\left(x \right)}{\left[g\left(x \right) \right]^{2}}
\]

Pochodne niekt贸rych funkcji

Niech \( a, b,c \) b臋d膮 dowolnymi liczbami rzeczywistymi, \( n \) dowoln膮 liczb膮 ca艂kowit膮.

Funkcja Pochodna funkcji
\[ f\left(x \right)=c \] \[ f’\left(x \right)=0 \]
\[ f\left(x \right)=ax+b \] \[ f’\left(x \right)=a \]
\[ f\left(x \right)=ax^{2}+bx+c \] \[ f’\left(x \right)=2ax+b \]
\[ f\left(x \right)=\frac{a}{x}, x\neq 0 \] \[ f’\left(x \right)=\frac{-a}{x^{2}} \]
\[ f\left(x \right)=x^{n} \] \[ f,\left(x \right)=nx^{n-1} \]

R贸wnanie stycznej

Je偶eli funkcja \( f \) ma pochodn膮 w punkcie \( x_{0} \), to r贸wnanie stycznej do wykresu funkcji \( f \) w punkcie \( \left(x_{0}, f\left(x_{0} \right) \right) \) dane jest wzorem \( y=ax+b \) gdzie wsp贸艂czynnik kierunkowy stycznej jest r贸wny warto艣ci pochodnej funkcji \( f \) w punkcie \( x_{0} \), to znaczy \( a=f’\left( x_{0} \right) \), natomiast \( b=f \left( x_{0} \right)-f’ \left( x_{0} \right)*x_{0} \).
R贸wnanie stycznej mo偶emy zapisa膰 w postaci \( y=f’\left(x_{0} \right)*\left(x-x_{0} \right) +f\left(x_{0} \right) \).