Granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów
Dane są ciągi \( \left( a_{n} \right) \) i \( \left( b_{n} \right) \) określone dla \( n\geq 1 \)
Jeśli \( \lim_{n \rightarrow \infty } a_{n} =a \) oraz \( \lim_{n \rightarrow \infty } b_{n} =b \), to:
\[ \lim_{n\rightarrow\infty }\left( a_{n}+b_{n} \right) =a+b \]
\[ \lim_{n \rightarrow \infty }\left( a_{n}-b_{n} \right) =a-b \]
\[ \lim_{n \rightarrow \infty }\left( a_{n} \cdot b_{n} \right) =a \cdot b \]
Jeżeli ponadto \( b_{n}\neq 0 \) dla \( n\geq 1 \) oraz \( b\neq 0 \), to:
\[ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{a}{b} \]
Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \( \left(a_{n} \right) \), określony dla \( n\geq 1 \), o ilorazie \( q \).
Niech \( S_{n} \) oznacza ciąg sum początkowych wyrazów ciągu \( \left(a_{n} \right) \), to znaczy ciąg określony wzorem \( S_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n} \) dla \( n\geq 1 \). Jeżeli \( \left|q \right|<1 \), to ciąg \( \left(S_{n} \right) \) ma granicę.
\[ S=\lim_{n\rightarrow \infty}S_{n}=\frac{a_{1}}{1-q} \]
Tę granicę nazywamy sumą wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego \( \left(a_{n} \right) \).