Rozszerzony

Przygotowanie do matury: Zadanie maturalne nr 287

otwarte

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2-3 m x+(m+1)(2 m-1)=0\) ma dwa różne rozwiązania \(x_1, x_2\) spełniające warunki: \(x_1 \cdot x_2 \neq 0\) oraz \(0<\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} \leqslant \frac{2}{3}\).

Przygotowanie do matury: Zadanie maturalne nr 48

otwarte

Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji \(f(x)=\frac{x^2}{x-1}\), określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x \neq 1\), poprowadzonej w punkcie \(A=\left(6, \frac{36}{5}\right)\) tego wykresu.

Przygotowanie do matury: Zadanie maturalne nr 43

otwarte

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności \(144 m^3\). Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać \(9\) metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:

-\(100 \)zł za \(1 m^2\) dna

-\(75 \)zł za \(1 m^2\) ściany bocznej.

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

Przygotowanie do matury: Zadanie maturalne nr 42

otwarte

Dane są parabola o równaniu \(y=x^2\) oraz punkty \(A=(0,2)\) i \(B=(1,3)\) (zobacz rysunek).

parabola tresc zadania

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty \(A B C\), których wierzchołek \(C\) leży na tej paraboli. Niech \(m\) oznacza pierwszą współrzędna punktu \(C\).

a) Wyznacz pole \(P\) trójkąta \(A B C\) jako funkcję zmiennej \(m\).

b) Wyznacz wszystkie wartości \(m\), dla których trójkąt \(A B C\) jest ostrokątny.

Przygotowanie do matury: Zadanie maturalne nr 41

otwarte

Dany jest trójkąt prostokątny \(A B C\). Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta \(A B C\), który ma większą miarę.

Przygotowanie do matury: Zadanie maturalne nr 40

otwarte

Rozwiąż równanie \(\cos 2 x=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x) \) w przedziale \(\langle 0, \pi\rangle\).

Przygotowanie do matury: Zadanie maturalne nr 39

otwarte

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian kwadratowy \( x^2-2(m+1) x+m \) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1 \neq 0, x_2 \neq 0 \) oraz \( x_1+x_2 \leqslant \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).

Przygotowanie do matury: Zadanie maturalne nr 38

otwarte

Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8,-6)\) i \(B=(5,15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0,0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą \(A B\).