Próbny egzamin – Listopad 2009Podstawowy

Korzystamy z interpretacji geometrycznej zbioru rozwiązań nierówności:

\( \left| x-a\right|> b \)

Omawiany zbiór to liczby odległe od liczby a o więcej niż b. Wyznaczamy środek odcinka licząc średnią arytmetyczną liczb będących na końcach przedziału. Środkiem przedziału o końcach \( -2 \) i \( 6 \) jest \( x=\frac{-2+6}{2}=2 \), punkty \( -2 \) i \( 6 \) są odległe od środka przedziału o \( 4 \). Zaznaczony zbiór liczb, odległych od punktu \( 2 \) o więcej niż \( 4 \) w prawo i lewo przedstawia się następująco:

Zbiór ten więc przedstawia nierówność:

\( \left| x-2\right|> 4 \)

Bilety ulgowe stanowiły:

\( \frac{126}{280}=0,45=45 \% \)

Liczymy:

\( 0,6x=9\Rightarrow x=\frac{9}{0,06}=150 \)

Liczymy:

\( 32^{-3}:\left ( \frac{1}{8} \right )^{4}=\frac{32^{-3}}{\left ( \frac{1}{8} \right )^{4}}=\frac{\left ( 2^{5} \right )^{-3}}{\left ( 2^{-3} \right )^{4}}= \)

\( =\frac{2^{-15}}{2^{-12}}=2^{-15-(-12)}=2^{-3} \)

Z definicji logarytmu wiemy, że:

\( log_{3}x=9\Leftrightarrow x=3^{9} \)

Korzystamy z wzoru skróconego mnożenia:

\( a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right ) \)

Po podstawieniu otrzymujemy:

\( 27x^{3}+y^{3}=\left ( 3x \right )^{3}+y^{3}= \)

\( =\left ( 3x+y \right )\left ( \left ( 3x \right )^{2}-\left ( 3x \right )y+y^{2} \right )= \)

\( =\left ( 3x+y \right )\left ( 9x^{2}-3xy+y^{2} \right ) \)

Obliczamy:

\( W\left ( x \right )\cdot V\left ( x \right )=\left ( x^{3}-3x+1 \right )\cdot 2x^{3}= \)

\( =2x^{6}-6x^{4}+2x^{3} \)

Wykorzystujemy postać kanoniczną funkcji kwadratowej:

\( y=a\left(x-p \right)^{2}+q \)

W powyższym wzorze \( \left(p, q \right) \) są wierzchołkami paraboli. W naszej sytuacji mamy:

\( y=-3\left(x-\left(-1 \right) \right)^{2}+0 \)

A więc wierzchołek ma współrędne \( \left(-1, 0 \right) \).

Podstawiamy współrzędne punktów z odpowiedzi do naszej funkcji \( y=x^{2}+x-2 \). Tylko jeden punkt spełnia warunki równania.

\( f\left(-1 \right)=\left(-1 \right)^{2}-1-2=-2 \)

Liczymy:

\( \frac{x-5}{x+3}=\frac{2}{3} \)

Mnożymy na krzyż:

\( 2\cdot \left ( x+3 \right )=3\cdot\left ( x-5 \right ) \)

\( 2x+6=3x-15 \)

\( x=21 \)

Przyrównujemy naszą nierówność do zera i szukamy miesc zerowych.

\( \left ( x+1 \right )\left ( x-3 \right )=0 \)

W takim przypadku miejscami zerowymi są: \( x=-1 \) i \( x=3 \)

Wykresem naszej nierówności jest parabola skierowana ramionami do góry, nierówność jest większa od zera, więc przedziały będą otwarte i skierowane na zewnątrz.

Liczymy:

\( a_{3}=\left ( -1 \right )^{3}\cdot (3-3)=0 \)

Wykorzystujemy wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Wiemy, że:

\( a_{11}=a_{3}+8r \)

Po podstawieniu danych mamy:

\( 34=14+8r \)

\( 20=8r \)

\( r=2,5=\frac{5}{2} \)

Ze wzory na n-ty wyraz ciągu geometrycznego \( a_{n}=a_{1}q^{n-1} \) mamy:

\( a_{4}=a_{1}q^{3} \)

Po podstawieniu otrzymujemy:

\( -4=32q^{3} \)

\( q^{3}=\frac{-4}{32}=-\frac{1}{8} \)

Pierwiastkujemy

\( q=-\frac{1}{2} \)

Po przekształceniu jedynki trygonometrycznej \( sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1 \) mamy:

\( cos\alpha =\sqrt{1-sin^{2}\alpha} \)

\( \sqrt{1-\frac{64}{81}}=\sqrt{\frac{17}{81}}=\frac{\sqrt{17}}{9} \)

Bezpośrednio z rysunku możemy odczytać szukaną wartość.

\( tg\alpha =\frac{1}{\sqrt{2}} \)

Przyda nam się rysunek pomocniczy:

Stosując Twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ADC otrzymujemy:

\( AC^{2}=CD^{2}+AD^{2} \)

\( 7^{2}=CD^{2}+6^{2} \)

\( CD^{2}=7^{2}-6^{2} \)

\( CD^{2}=49-36=13 \)

\( CD=\sqrt{13} \)

Trójkąty \( ECD \) i \( EAB \) są podobne, więc:

\( \frac{EC}{EA}=\frac{DC}{BA} \)

\( \frac{EA+4}{EA}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} \)

\( 3\left ( EA+4 \right )=4EA \)

\( 3EA+12=4EA \)

\( EA=12 \)

Liczymy długość odcinka:

\( AB=\sqrt{\left ( 4-\left ( -2 \right )\right )^{2}+\left ( 6-3 \right )^{2}} \)

\( AB=\sqrt{6^{2}+3^{2}}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45} \)

Równanie okręgu o środku \( \left ( a, b \right ) \) i promieniu \( r \) ma postać:

\( \left ( x-a \right )^{2}+\left ( y-b \right )^{2}=r^{2} \)

Dane równanie ma postać:

\( \left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-0 \right )^{2}=4^{2} \)

Czyli \( r=4 \)

Dwie proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy, iloczyn współczynników kierunkowych obu prostych daje wynik \( -1 \).

\( 3\cdot a=-1 \)

\( a=-\frac{1}{3} \)

Tylko jedna prosta ma współczynnik kierunkowy \( -\frac{1}{3} \) i jest to \( y=-\frac{1}{3}x-1 \).

Podstawiamy dane współrzędne do wzoru:

\( -1=-4\cdot 2+2m-7 \)

\( -1=-8+2m-7 \)

\( 14=2m \)

\( m=7 \)

Jeśli oznaczymy długość krawędzi przez \( a \), to jego powierzchnia jest równa \( 6a^{2} \) zatem:

\( 6a^{2}=150 \)

\( a^{2}=\frac{150}{6}=25 \)

\( a=5 \)

Liczymy:

\( \frac{5+x+1+3+1}{5}=3 \,\,/ \cdot 5 \)

\( 10+x=15 \)

\( x=5 \)

Jeżeli iloczyn ma być liczbą nieparzystą, to z każdego zbioru musimy wybrać liczbę nieparzystą. Zatem z pierwszego zbioru mogą to być liczby 3 i 5, a z drugiego 1. Są więc tylko dwie takie możliwości.