Egzamin maturalny – Maj 2010Podstawowy

Przypomnijmy, że liczba \( \left | x-a \right | \) jest równa odległości na osi liczb \( x \) i \( a \). W takim razie nierówność

\( \left | x-\left ( -7 \right ) \right |>5 \)

opisuje zbiór liczb, które są odległe od \( -7 \) o więcej niż \( 5 \). Jest to więc zbiór:

\(\left( \infty,-12\right)\cup\left(-2,+\infty \right)\)

Jeżeli \( x \) jest wyjściową ceną spodni, to po obniżce cena wynosi \( 0,7x \), co daje równanie:

\( 0,7x=126 \)

\( x=\frac{126}{0,7}=180 \)

Każda liczba niezerowa podniesiona do potęgi \( 0 \) jest równa \( 1 \).

Korzystamy ze wzoru na sumę logarytmów:

\( log_{a}\,x+log_{a}\,y=log_{a}\,xy \)

W naszym przypadku otrzymujemy:

\( log_{4}\,8+log_{4}\,2=log_{4}\,\left (8\cdot 2 \right )=log_{4}\,4^{2} \)

Liczymy:

\( W(x)+P(x)= \)
\( =-2x^{3}+5x^{2}-3+2x^{3}+12x= \)
\( =5x^{2}+12x-3 \)

Liczymy:

\( \frac{3x-1}{7x+1}=\frac{2}{5} \,\, /\cdot 5(7x+1) \)

\( 5(3x-1)=2(7x+1) \)

\( 15x-5=14x+2 \)

\( x=7 \)

Zbiorem rozwiązań nierówności kwadratowej \( (x-2)(x+3)< 0\) jest przedział \( (-3,2)\). Ponieważ po wymnożeniu obu nawiasów otrzymamy funkcję kwadratową w postaci ogólnej z dodatnim współczynnikiem kierunkowym. Do przedziału tego należy tylko jedna liczba i jest nią: \( 1\)

Przypomnijmy, że wierzchołek funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej ma współrzędne \( (p, q) \):

\( y=a(x-p)^{2}+q \)

W naszej sytuacji mamy \( p=0\) i \( q=3\). Zatem wierzchołek ma współrzędne \( (0,3)\).

Podstawiamy podane współrzędne do równania naszej prostej.

\( 2=-2\cdot 0+(3m+3) \)

\( 2=3m+3 \)

\( -1=3m~~ \Rightarrow ~~m=-\frac{1}{3}\)

Podany wykres ma dokładnie trzy punkty wspólne z poziomą prostą \( y=2\).

Ze wzoru \( a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) na \( n \)-ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy:

\( \left\{\begin{matrix}
13=a_{3}=a_{1}+2r & \\
39=a_{5}=a_{1}+4r &
\end{matrix}\right. \)

Odejmując od drugiego równania pierwsze mamy:

\( 26=2r\Rightarrow r=13 \)

Zatem:

\( a_{1}=13-2r=13-26=-13 \)

Ze wzoru \( a_{n}=a_{1}q^{n-1}\) na \( n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego mamy:

\( 24=a_{4}=a_{1}q^{3}=3q^{3}~~/: 3 \)

\( 8=q^{3}~~\Rightarrow ~~q=2 \)

Korzystamy ze wzoru \( \frac{n(n-3)}{2} \) na liczbę przekątnych \( n\)-kąta. Dla \( n=7\) mamy:

\( \frac{7 \cdot \left ( 7-3 \right )}{2}=\frac{7\cdot 4}{2}=14 \)

Na mocy jedynki trygonometrycznej mamy:

\( sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1 \)

\( 2-cos^{2}\alpha =2-(1-sin^{2}\alpha)= \)

\( =1+sin^{2}\alpha=1+\frac{9}{16}= \frac{25}{16} \)

Zacznijmy od rysunku pomocniczego:

Widać, że przekątna kwadratu ma długość równą średnicy okręgu opisanego na kwadracie. Zatem:

\( a\sqrt{2}=8 \)

\( a=\frac{8}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2} \)

Zaczynamy od rysunku pomocniczego:

Stosując twierdzenie Pitagorasa w trójkacie \( ADC\) mamy:

\( h^{2}=5^{2}-3^{2}=25-9=16 \)

\( h=4 \)

Trójkąty \( ABC \) i \( DEC \) są podobne, więc:

\( \frac{AC}{DC}=\frac{AB}{DE} \)

\( \frac{AC}{1}=\frac{9}{3}~~\Rightarrow ~~AC=3 \)

Zatem: \( AD=AC-1=3-1=2 \)

Wszystkie kąty trójkąta równobocznego mają miary \( 60^\circ\), a miara kąta środkowego \( ASB\) jest dwa razy większa niż miara kąta wpisanego \( ACB.\) Czyli:

\( \measuredangle ASB= 2\measuredangle ACB=2\cdot 60^\circ=120^\circ \)

Na mocy wzoru na pole trójkąta z sinusem mamy:

\( P=\frac{1}{2}\cdot 80\cdot 80\cdot sin30^{\circ}= \)

\( =40\cdot 80\cdot \frac{1}{2}=40^{2}=1600 \)

Proste \( y=ax+b\) i \( y=cx+d\) są równoległe, jeżeli mają takie same współczynniki kierunkowe, czyli gdy \( a=c.\) Zatem współczynnik kierunkowy prostej równoległej do \( y=-3x+5\) jest równy \( -3 \).

Okrąg o środku \( (a,b) \) i promieniu \( r \) ma równanie:

\( (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} \)

Zatem okrąg o promieniu \( 6 \) to:

\( x^{2}+y^{2}=6^{2}=36 \)

Liczymy długość boku trójkąta:

\( AB=\sqrt{(3+5)^{2}+(-2-2)^{2}}=\)

\( =\sqrt{64+16}=\sqrt{80}= \)

\( =\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5} \)

Obwód trójkąta jest trzy razy większy, czyli wynosi \( 12\sqrt{5}\).

Rysujemy rysunek pomocniczy:

Każda ze ścian występuje dwukrotnie, a zatem otrzymujemy:

\( P_{C}=2 \cdot \left ( 5\cdot3+3\cdot4+4\cdot5 \right )= \)

\( = 2 \cdot (15+12+20)=2\cdot47=94 \)

Jeżeli w podstawie ostrosłupa jest \( n\)-kąt to ostrosłup ma \( n+1\) wierzchołków (\( n\) w podstawie i jeden wierzchołek). Mamy więc:

\( n+1=18~~\Rightarrow ~~n=17 \)

W takim razie w podstawie jest \( 17\) krawędzi oraz jest \( 17\) krawędzi bocznych. W sumie \( 2n=34 \)

\( \frac{x + 3 + 1 + 4 + 1 + 5 + 1 + 4 + 1 + 5}{10}=3~~/\cdot 10 \)

\( x+25=30~~\Rightarrow ~~x=5 \).