Podstawowy

Punkty \(A=(-1,1)\) i \(C=(1,9)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(A B C\), w którym \(|A C|=|B C|\). Podstawa \(A B\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2} x+\frac{3}{2}\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) tego trójkąta.

W ciągu arytmetycznym \(\left(a_n\right)\), określonym dla liczb naturalnych \(n \geqslant 1\), wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(S_{10}=\frac{15}{4}\). Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości \(H=16\). Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od \(0\) do \(4\)) i liczbę uzyskanych reszek (również od \(0\) do \(4\)). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin \alpha+\cos \alpha=\sqrt{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(tg \, \alpha+\frac{1} {tg \, \alpha}\).

Dany jest prostokąt \(A B C D\). Na boku \(C D\) tego prostokąta wybrano taki punkt \(E\), że \(|E C|= 2|D E|\), a na boku \(|A B|\) wybrano taki punkt \(F\), że \(|B F|=|D E|\). Niech \(P\) oznacza punkt przecięcia prostej \(E F\) z prostą \(B C\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty \(A E D\) i \(F P B\) są przystające.

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez \(8\) jest równa \(6\).

Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+b x+c\) jest parabola, na której leży punkt \(A=(0,-5)\). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu \(x=7\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).