Podstawowy

Podstawą graniastosłupa prostego \( ABCDEF\) jest trójkąt prostokątny \( ABC\), w którym \( \left | \measuredangle ACB \right |=90 ^{\circ}\) (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej \( AC\) tego trójkąta do długości przyprostokątnej \( BC\) jest równy \( 4:3\). Punkt \( S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \( ABC\), a długość odcinka \( SC\) jest równa \( 5\). Pole ściany bocznej \( BEFC\) graniastosłupa jest równe \( 48\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Punkt \( C=(0,0)\) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego \( ABC\), którego wierzchołek \( A\) leży na osi \( Ox\) a wierzchołek \( B\) na osi \( Oy\) układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka \( C\) przecina przeciwprostokątną \( AB\) w punkcie \( D=(3,4)\).

Oblicz współrzędne wierzchołków \( A\) i \( B\) tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej \( AB\).

Funkcja kwadratowa \( f(x)=ax^{2}+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \( x_{1}=-2\) i \( x_{2}=6\). Wykres funkcji \( f\) przechodzi przez punkt \( A=(1,-5)\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \( f\).

Dany jest ciąg arytmetyczny \( (a_{n})\), określony dla \( n \geqslant 1\), w którym spełniona jest równość \( a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100\). Oblicz sumę \( a_{25}+a_{26}\).

Ze zbioru liczb \( \{1,2,4,5,10\} \) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \( A\) polegające na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowano liczbę jest liczbą całkowitą.

Dany jest trójkąt prostokątny \( ABC\), w którym \( \left | \measuredangle ACB \right |=90\) i \( \left | \measuredangle ABC \right |=60^{\circ}\). Niech \( D\) oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka \( C\) kąta prostego i przeciwprostokątnej \( AB\) tego trójkąta. Wykaż, że \( \left | AD \right |:\left | DB \right |=3:1\).

Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \( x\) prawdziwa jest nierówność \( 4x+\frac{1}{x}\geqslant 4 \).

Rozwiąż równanie \( (x^{2}-6)(3x+2)=0\).